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Das Birkhoff-Integral ist ein Integralbegriff, der 1935 von Garrett Birkhoff zur Integration von banachraumwertige Funktionen eingeführt wurde. Während das Bochner-Integral die direkte Verallgemeinerung des Lebesgueschen Integralbegriffs auf banachraumwertige Funktionen ist, stellt das Birkhoff-Integral in zweifacher Hinsicht eine Verallgemeinerung des Riemann-Integrals dar. Zum einen werden nun Funktionen betrachtet, welche über einem beliebigen σ {\displaystyle \textstyle \sigma } -endlichen Maßraum definiert sind. Des Weiteren werden nicht nur endliche Summen (die sog. Riemann-Summen) betrachtet, sondern unbedingt konvergente Reihen. Während jede Riemann-integrierbare Funktion auf dem R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} Lebesgue-integrierbar ist, gilt andererseits, dass jede Bochner-integrierbare Funktion auf einem σ σ {\displaystyle \textstyle \sigma } -endlichen Maßraum Birkhoff-integrierbar sein muss.

• Definition

• Vergleich mit anderen Integralbegriffen

• Eigenschaften

• Literatur

Es seien ( Ω Ω , A , μ μ ) {\displaystyle \textstyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )} ein σ σ {\displaystyle \textstyle \sigma } -endlicher Maßraum und ( B , ‖ ‖ ⋅ ⋅ ‖ ‖ ) {\displaystyle \textstyle (B,\|\cdot \|)} ein Banachraum und f : : Ω Ω → → B {\displaystyle \textstyle f\colon \Omega \to B} eine Funktion. Als Vorbereitung auf die eigentliche Definition werden hier zunächst drei grundlegende Abkürzungen eingeführt:

• Für eine Menge ∅ ∅ ≠ ≠ M ⊆ ⊆ B {\displaystyle \textstyle \emptyset \neq M\subseteq B} wird der Durchmesser definiert durch d i a m ( M ) := sup x , y ∈ ∈ M ‖ ‖ x − − y ‖ ‖ {\displaystyle \textstyle \mathrm {diam} (M):=\sup _{x,y\in M}\|x-y\|} .

• Für eine Menge ∅ ∅ ≠ ≠ M ⊆ ⊆ B {\displaystyle \textstyle \emptyset \neq M\subseteq B} bezeichnet k o n v ( M ) {\displaystyle \textstyle \mathrm {konv} (M)} die konvexe Hülle von M {\displaystyle \textstyle M} .

• Eine Teilmenge Γ Γ {\displaystyle \textstyle \Gamma } der σ σ {\displaystyle \textstyle \sigma } -Algebra A {\displaystyle \textstyle {\mathcal {A}}} heißt abzählbare μ μ {\displaystyle \textstyle \mu } -Partition von Ω Ω {\displaystyle \textstyle \Omega } , wenn

• Γ Γ {\displaystyle \textstyle \Gamma } eine abzählbare Partition von Ω Ω {\displaystyle \textstyle \Omega } ist und

• jede Menge in Γ Γ {\displaystyle \textstyle \Gamma } endliches Maß hat, also gilt ∀ ∀ M ∈ ∈ Γ Γ : μ μ ( M ) < ∞ ∞ {\displaystyle \textstyle \forall M\in \Gamma :\mu (M)<\infty } .

Mit Hilfe dieser Begrifflichkeiten kann nun das Birkhoff-Integral sozusagen als Verallgemeinerung des Riemann-Integrals definiert werden. Zuerst wird der Begriff der Riemann-Summen über einer Partition des Definitionsbereichs verallgemeinert:

f {\displaystyle \textstyle f} heißt unbedingt summierbar unter der abzählbaren μ μ {\displaystyle \textstyle \mu } -Partition Γ Γ {\displaystyle \textstyle \Gamma } von Ω Ω {\displaystyle \textstyle \Omega } , wenn gilt: ∀ ∀ ( b M ) M ∈ ∈ Γ Γ ∈ ∈ ∏ ∏ M ∈ ∈ Γ Γ f ( M ) : : ∑ ∑ M ∈ ∈ Γ Γ μ μ ( M ) b M {\displaystyle \textstyle \forall (b_{M})_{M\in \Gamma }\in \prod _{M\in \Gamma }f(M)\colon \sum _{M\in \Gamma }\mu (M)b_{M}} ist unbedingt konvergent.

Jede formal mögliche abzählbare Riemann-Summe über der μ μ {\displaystyle \textstyle \mu } -Partition muss also unbedingt konvergent sein. In der nächsten Definition werden dann alle Riemann-Summen-Werte dieser μ μ {\displaystyle \textstyle \mu } -Partition gesammelt:

∑ ∑ M ∈ ∈ Γ Γ μ μ ( M ) f ( M ) := { ∑ ∑ M ∈ ∈ Γ Γ μ μ ( M ) b M | ∀ ∀ M ∈ ∈ Γ Γ : b M ∈ ∈ f ( M ) } {\displaystyle \sum _{M\in \Gamma }\mu (M)f(M):={\bigg \{}\sum _{M\in \Gamma }\mu (M)b_{M}\,{\Big |}\,\forall \,M\in \Gamma :b_{M}\in f(M){\bigg \}}} .

Man nennt f {\displaystyle \textstyle f} (unbedingt) Birkhoff-integrierbar, wenn es eine Folge ( Γ Γ i ) i ∈ ∈ N {\displaystyle \textstyle (\Gamma _{i})_{i\in \mathbb {N} }} von abzählbaren μ μ {\displaystyle \textstyle \mu } -Partitionen gibt mit ∀ ∀ i ∈ ∈ N : f {\displaystyle \textstyle \forall \,i\in \mathbb {N} :f} ist unbedingt summierbar unter Γ Γ i {\displaystyle \textstyle \Gamma _{i}} und zudem noch gilt

lim i → → ∞ ∞ d i a m ( k o n v ( ∑ ∑ M ∈ ∈ Γ Γ i μ μ ( M ) f ( M ) ) ¯ ¯ ) = 0 {\displaystyle \displaystyle \lim _{i\to \infty }\mathrm {diam} {\bigg (}{\overline {\mathrm {konv} {\Big (}\sum _{M\in \Gamma _{i}}\mu (M)f(M){\Big )}}}{\bigg )}=0} .

Die Durchmesser der zur Partitionsfolge gehörigen Mengen der Riemann-Summen-Werte (zuvor konvex- und dann topologisch abgeschlossen) müssen also gegen Null konvergieren. Dann gibt es nämlich genau ein Element b {\displaystyle \textstyle b} im Durchschnitt

⋂ ⋂ i = 1 ∞ ∞ k o n v ( ∑ ∑ M ∈ ∈ Γ Γ i μ μ ( M ) f ( M ) ) ¯ ¯ {\displaystyle \bigcap _{i=1}^{\infty }{\overline {{\rm {konv}}{\Big (}\sum _{M\in \Gamma _{i}}\mu (M)f(M){\Big )}}}} .

Dieses ist zudem unabhängig von der konkreten Wahl der Folge ( Γ Γ i ) i ∈ ∈ N {\displaystyle \textstyle (\Gamma _{i})_{i\in \mathbb {N} }} und als das (unbedingte) Birkhoff-Integral definiert man

∫ ∫ Ω Ω f d μ μ := b {\displaystyle \int _{\Omega }f\,{\rm {d}}\mu :=b} .

• Jede auf einem σ σ {\displaystyle \textstyle \sigma } -endlichen Maßraum definierte Bochner-integrierbare Funktion ist auch Birkhoff-integrierbar und die entsprechenden Integralwerte stimmen dann überein. Es gibt jedoch Birkhoff-integrierbare Funktionen, die nicht Bochner-integrierbar sind.

• Wird die Definition des Riemann-Integrals direkt mittels Riemann-Summen auf banachraumwertige Funktionen verallgemeinert, so ist im Allgemeinen nicht mehr jede Riemann-integrierbare Funktion auch Bochner-integrierbar, aber dafür Birkhoff-integrierbar.

• Ein Beispiel für eine nicht Bochner-integrierbare aber Birkhoff-integrierbare (sogar Riemann-integrierbare) Funktion ist:

Sei ℓ ℓ 2 ( [ 0 , 1 ] ) := { ( x i ) i ∈ ∈ [ 0 , 1 ] ∈ ∈ R [ 0 , 1 ] | ∑ ∑ i ∈ ∈ [ 0 , 1 ] x i 2 < ∞ ∞ } {\displaystyle \textstyle \;\ell ^{2}\left([0,1]\right):=\left\{(x_{i})_{i\in [0,1]}\in \mathbb {R} ^{[0,1]}\;{\Big |}\;\sum _{i\in [0,1]}x_{i}^{2}<\infty \right\}\,} versehen mit der Norm ‖ ‖ ( x i ) i ∈ ∈ [ 0 , 1 ] ‖ ‖ := ( ∑ ∑ i ∈ ∈ [ 0 , 1 ] x i 2 ) {\displaystyle \textstyle \|(x_{i})_{i\in [0,1]}\|:={\sqrt {\left(\sum _{i\in [0,1]}x_{i}^{2}\right)}}} , siehe allgemeiner ℓ p {\displaystyle \textstyle \ell ^{p}} -Raum und f : : [ 0 , 1 ] → → ℓ ℓ 2 ( [ 0 , 1 ] ) ; x ↦ ↦ χ χ { x } {\displaystyle \textstyle f\colon [0,1]\to \ell ^{2}\left([0,1]\right);\,x\mapsto \chi _{\{x\}}} , wobei das Bild von x {\displaystyle \textstyle x} unter f {\displaystyle \textstyle f} gerade die Charakteristische Funktion von x {\displaystyle \textstyle x} ist. f {\displaystyle \textstyle f} ist nicht Bochner-integrierbar, denn sonst wäre f {\displaystyle \textstyle f} auch μ μ {\displaystyle \textstyle \mu } -messbar. Mit Hilfe des Messbarkeitssatz von Pettis folgt aber, dass f {\displaystyle \textstyle f} nicht μ μ {\displaystyle \textstyle \mu } -messbar ist, denn f ( [ 0 , 1 ] ) {\displaystyle \textstyle f\left([0,1]\right)} ist nicht μ μ {\displaystyle \textstyle \mu } -fast überall separabel. Das Riemann-Integral und damit auch das Birkhoff-Integral von f {\displaystyle \textstyle f} ist 0 : : [ 0 , 1 ] → → R ; x ↦ ↦ 0 {\displaystyle \textstyle {\mathfrak {0}}\colon [0,1]\to \mathbb {R} ;\,x\mapsto 0} .

• Jede Birkhoff-integrierbare Funktion ist Pettis-integrierbar.

• Das Birkhoff-Integral ist linear. Für zwei Birkhoff-integrierbare Funktionen f , g : : Ω Ω → → B {\displaystyle \textstyle f,g\colon \Omega \to B} und α α , β β ∈ ∈ K {\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {K} } ist auch α α f + β β g {\displaystyle \alpha f+\beta g} Birkhoff-integrierbar und es gilt:

∫ ∫ Ω Ω α α f + β β g d μ μ = α α ∫ ∫ Ω Ω f d μ μ + β β ∫ ∫ Ω Ω g d μ μ {\displaystyle \int _{\Omega }\alpha f+\beta g\,{\rm {d}}\mu =\alpha \int _{\Omega }f\,{\rm {d}}\mu +\beta \int _{\Omega }g\,{\rm {d}}\mu } .

• Für die Birkhoff-Integrierbarkeit von f : : Ω Ω → → B {\displaystyle \textstyle f\colon \Omega \to B} gibt es eine relativ neue äquivalente Charakterisierung, siehe M. Potyrala:

f {\displaystyle f} ist genau dann Birkhoff-integrierbar mit x = ∫ ∫ Ω Ω f d μ μ {\displaystyle \textstyle x=\int _{\Omega }f\,{\rm {d}}\mu } wenn gilt ∀ ∀ ε ε > 0 ∃ ∃ {\displaystyle \forall \,\varepsilon >0\,\exists \,} eine abzählbare μ μ {\displaystyle \textstyle \mu } -Partition Γ Γ : f {\displaystyle \textstyle \Gamma :f} ist unbedingt summierbar unter Γ Γ {\displaystyle \textstyle \Gamma } und sup { ‖ ‖ y − − x ‖ ‖ | y ∈ ∈ ∑ ∑ M ∈ ∈ Γ Γ μ μ ( M ) f ( M ) } < ε ε {\displaystyle \textstyle \;\;\sup {\Big \{}\,\|y-x\|\,{\Big |}\,y\in \sum _{M\in \Gamma }\mu (M)f(M)\,{\Big \}}<\varepsilon } .

• Es sei D {\displaystyle \textstyle D} ein weiterer Banachraum, f : : Ω Ω → → B {\displaystyle f\colon \Omega \to B} Birkhoff-integrierbar und T ∈ ∈ L ( B , D ) {\displaystyle \textstyle T\in L(B,D)} ein stetiger linearer Operator. Dann ist die Verkettung T ∘ ∘ f : : Ω Ω → → D {\displaystyle \textstyle T\circ f\colon \Omega \to D} eine Birkhoff-integrierbare Funktion und es gilt:

T ( ∫ ∫ Ω Ω f d μ μ ) = ∫ ∫ Ω Ω T ∘ ∘ f d μ μ {\displaystyle T\left(\int _{\Omega }f\mathrm {d} \mu \right)=\int _{\Omega }T\circ f\mathrm {d} \mu } .

• Jürgen Friedrich: Integration banachraumwertiger Funktionen: Bochner- und Birkhoff-Integration. Diplomica Verlag, Hamburg 2013, S. 28–46, ISBN 978-3-8428-4043-0.

• Garrett Birkhoff: Integration of Functions with Values in a Banach Space. In: Transactions of the American Mathematical Society, Vol. 38, No. 2(1935), S. 357–378.

• M. Potyrala: Some Remarks about Birkhoff and Riemann-Lebesgue Integrability of Vector valued Functions. In: Tatra Mountains Mathematical Publications, 35(2007), S. 97–106.